Loading...

قویترین جزوه مشتق دوازدهم ریاضی

  در ادامه این مطلب جزوه مبحث مشتق دوازدهم رشته ریاضی تألیف استاد ترکی ارائه شده است که به سادترین و شیرینترین صورت ممکن خط به خط کتاب درسی را به شما دانش آموزان سال دوازدهم ریاضی آموزش میدهد . در ادامه بخشی از مطالب ارائه شده در این جزوه را مشاهده کنید.

فرمولها و قوانین مشتقگیری
مشتق تابع ثابت :مشتق تابع ثابت y=c برابر با صفر است یعنی :
y=c → y^'=0
مشتق تابع توانیy=x^n برابر است با :
y=x^n→y^'=nx^(n-1)
مثال :مشتق تابعy=x^1→y^'=1x^(1-1)=1x^0=1×1=1
مثال : مشتق تابع y=x^(-1) → y=1/x → y^'=-1x^(-1-1)=-1x^(-2)=-1/x^2
مشتق توابع مثلثاتی : توابع مثلثاتی رو به خوبی میشناسیم. حالا مشتقشونو باهم میبینیم .

y = sin⁡x □ (⇒┴ ()) y ^ '= cos⁡x
y = cos⁡x □ (⇒┴ ()) y ^' = - sin⁡x
y = tan⁡x □ (⇒┴ () ) y ^ '= 1+ an tan〗 ^ 2 x □ (⇒┴ ()) y ^' = 1 / (〖cos〗 ^ 2 x)
y = cotx □ (⇒┴ ()) y ^ '= - ( 1+ 〖cot〗 ^ 2 x) □ (⇒┴ ()) y ^ '= - 1 / (〖sin〗 ^ 2 x)
قطعا الان اینو متوجه شدی که برای توابع تانژانت و کتانژانت مشتق در نهایت به دو شکل درمیاد که ممکنه در تستهای مختلف ما یک شکلشو ببینیم . توصیه میکنم هر دو شکل جواب مشتق رو برای تانژانت و کتانژانت خوب درک کنید. برای اینکار به نظرم میشه اثبات مشتق تانژانت و کتانژانت رو نوشت. اینکار خیلی کمکمون میکنه تا دلیل بدست اومدن این جوابها رو بفهمیم. برای اون دسته از دانش آموزانی که حس میکنن ممکنه شکل نهایی مشتق این دو تابع رو فراموش کنن ، بلد بودن اثبات این دو مشتق خیلی کمک کننده است چون هم اگه قانونهای مشتقگیری رو خوب یاد گرفته باشن به جواب رسیدن کار ساده ایه و هم اگه از راه حلهای طولانی خوشتون نیاد تلاش بیشتری برای درک شکلهای نهایی مشتق این دو تابع میکنید.
البته خیلی مشتاقم که خودتون اثبات مشتق این دوتابع رو برای من بنویسید و از طریق تلگرام برای من بفرستید اما چون میدونم که هنوز مشتق حاصلضرب و تقسیم دو تابع رو نگفتم و از طرفی این رو هم میدونم که شما دانش آموزان رشته تجربی علاقه ای به اثبات نشون نمیدین در ادامه جزوه ، اثبات مشتق یکی از این دو تابع رو برای شما مینویسم و اثبات مشتق تابع بعدیش رو شما ، بهترین دانش آموزان رشته تجربی و ریاضی برای من مینویسید و میفرستید.

مشتق توابع رادیکالی : بازم یه فرمول خیلی شیرین و جالب در انتظارمونه که میدونم باهوشترینهای رشته ریاضی و تجربی از بازی با این فرمولها حسابی لذت میبرن :
y=√x □(⇒┴(که میدونیم ) )√(2&x^1 )=x^(1/2)
با توجه به اینکه میشه توابع رادیکالی رو به صورت توابع تواندار نوشت برای محاسبه مشتق این نوع توابع به راحتی دوتا راه حل خوب وجود داره. یا میشه قانون مشتق توابع رادیکالی رو که الان یادمیگیری رو به خاطر بسپاری یا تابع رادیکالی رو به تابع تواندار تبدیل کنی و از قانون مشتق توابع تواندار استفاده کنی.

y=√x □(⇒┴(که میدونیم ) )√(2&x^1 )=x^(1/2)
y=√x □(⇒┴( ) )y^'=1/(2√x) □(⇒┴(کلی فرمول ) ) y=√(m&x)□(⇒┴( ) )y^'=1/(m√(m&x^(m-1) ))
البته این رو هم باید بدونی که همیشه در توابع رادیکالی که به ما داده میشه عبارت زیر رادیکال ، یک جمله ای نیست و یا به عبارت بهتر باید بگم معمولا توابع رادیکالی که به ما داده میشه چند جمله ای درجه دوم هستش.پس بازم میگم خوبه که با نهایت دقت از فرمولهایی که یادمیگیری استفاده کنی. شاید ظاهر کار در فرمولهایی که میبینی راحت باشه و حرفهای من کمی ترسناک به نظر برسه اما در ادامه با حل مثالهای مختلف منظورمو خیلی بهتر متوجه میشی . بازی با فرمولهای مشتق خیلی شیرین و جذابه. قوانین رو با دقت بیشتری یاد بگیر تا خیلی عالی امتحان بدی و خیلی عالی تست بزنی.
مشتق توابع نمای و لگاریتمی :در مورد مشتق این نوع توابع هم توقع دارم اینو بدونی که معمولا به ما توابعی داده میشه که چند جمله ای هستن و یا توابع داده شده ضریب عددی دارن و شامل جمع و تفریق یا ضرب و تقسیم چند تابع هستن و یا به عبارت بهتر از ترکیب چند تابع به وجود اومدن . همیشه بهترینها حضور ذهنشون بالاست. مطمئنم که شما دانش آموز تیز هوش من از حالا به بعد حضور ذهنتو تقویت میکنی. تا به امروز بارها و بارها در جزوات سال یازدهمم به شما عزیزان به صورت غیر مستقیم ، با حل کامل مثالهایی که در جزواتم زده شده یاد دادم ، انجامِ تمام مراحل حلِ سختترین سوالات هر مبحث در ریاضیات ، با حضور ذهن بالای ما بسیار راحت میشن. قراره تمامی قوانینی که در تمامی سالهای تحصیلمون یادگرفتیم همیشه به کمکمون بیان. بخاطر همین وقتی همیشه قوانین بازی با ریاضیات رو در ذهنمون آماده داشته باشیم حتی حل مشکلترین و پیچیده ترین سوالات ریاضیات برای ما نه تنهاسخت نخواهد بود بلکه بسیار شیرین و لذت بخش خواهد بود اینو بهتون قول میدم .

 ( مشتق پذیری و پیوستگی ) :

تعریف مهم : اگر تابع y=f(x) روی بازه بسته [a ,b] پیوسته باشد (یعنی حد
                         چپ و راست آن تابع موجود و با هم برابر باشند) ، در نقطه x_0∈(a,b)
                          مشتق پذیر است ، اگر حد زیر موجود و متناهی باشد : 
f^' (x_0 )=lim┬(x→x_0 )⁡〖(f(x)-f(x_0))/(x-x_0 )〗
نکته : میدونیم که وقتی میگه حدتابع موجود باشد یعنی حد چپ و راستِ اون تابع با هم برابر باشن.
نکته : میدونیم که منظور از متناهی بودنِ حد یک تابع ، اینه که حد اون تابع در نقطه داده شده برابر با ∞ نشه.

این تعریف مهم رو گفتم که بدونی قضیه صفحه 86 کتابت رو بهتر متوجه بشی. حالا با هم قضیه رو میخونیم و برات توضیح میدم که ماجرا چیه

مشتق چپ و راست :

فرمولها و قوانین مشتقگیری

مشتق تابع ثابت :مشتق تابع ثابت y=c برابر با صفر است یعنی :
y=c  →  y^'=0
مشتق تابع توانیy=x^n برابر است با :      
y=x^n→y^'=nx^(n-1)
مثال :مشتق تابعy=x^1→y^'=1x^(1-1)=1x^0=1×1=1
مثال : مشتق تابع y=x^(-1)   →  y=1/x   →  y^'=-1x^(-1-1)=-1x^(-2)=-1/x^2 
مشتق توابع مثلثاتی : توابع مثلثاتی رو به خوبی میشناسیم. حالا مشتقشونو باهم میبینیم .
y=sin⁡x □(⇒┴(         ) )y^'=cos⁡x
y=cos⁡x □(⇒┴(          ) )y^'=-sin⁡x
y=tan⁡x □(⇒┴(         ) )y^'=1+〖tan〗^2 x□(⇒┴(         ) )y^'=1/(〖cos〗^2 x)
y=cotx□(⇒┴(          ) )y^'=-(1+〖cot〗^2 x) □(⇒┴(           ) )y^'=-1/(〖sin〗^2 x)

قانون مشتق توابع نمایی و لگاریتمی بر مبنای (پایه) a :
برای توابع نمایی داریم :
y=a^x → y^'=a^x Lna
برای توابع لگاریتمی داریم :
y=〖log〗_a⁡x→y^'=1/xLna
با توجه به قانون فوق میتونیم جواب مثال رو به راحتی بدست بیاریم :
y=log_2⁡x □(⇒┴( x=2 ) )y^'=1/xLna=1/2Ln2=1/(Ln2^2 )=1/Ln4

محاسبه مشتق برحسب u :
میدونیم که مشتق تابع f(u) برابر است باu'f'(u)در این صورت میتونیم این قانون رو به قوانین زیر تعمیم بدیم در این صورت داریم :

آهنگ تغییر :
تابه حال بارها در درس فیزیک آهنگ تغییر رو شنیدیم. هر زمان که کلمه تغییر رو
میبینیم یا این کلمه رو میشنویم ، اولین چیزی که به ذهنمون میرسه اینه که قراره نوعی جابجایی داشته باشیم و با خودمون میگیم چه جابجایی و با چه سرعتی قراره رخ بده ؟ ما با چه اتفاقی روبرو هستیم ؟
اگه آهنگ تغییر در فیزیک مطرح باشه میدونیم که قراره نوعی جابجایی داشته باشیم مثل حرکت اتومبیل به سمت جلو یا عقب با سرعتی مشخص یا حرکت آسانسور به سمت بالا یا پایین ، و اگر در شیمی آهنگ تغییر مد نظر باشه میدونیم که سرعت تغییرات ناشی از واکنشهای شیمیایی مد نظر خواهد بود.
قراره فرمول سرعت متوسط رو که با v ̅=(x_2-x_1)/(t_2-t_1 )=∆x/∆t نمایش میدادیم با محاسبه مشتق به سرعت لحظه ای تبدیل کنیم و اینجوری میتونیم سرعت هر متحرک رو در ابتدای شروع حرکتش و همینطور در هر لحظه دلخواه از مسیر حرکت و در نهایت در لحظه توقف محاسبه کنیم
نکته مهم : سرعت لحظه ای در هر لحظه دلخواه t ، برابر است با شیب خط مماس برمنحنی تابع در آن لحظه .

آهنگ تغییر متوسط : با توجه به نمودار روبرو و توضیحاتِ فوق

میدونیم که آهنگ تغییر متوسط تابع  بین دو نقطه  در

فاصله  یا به عبارت بهتر از  تا  با کمک فرمولِ

زیر محاسبه میشه :

نظرات
    جزوه مشتق دوازدهم ریاضی

    از اینکه بزرگوارانه نظرات و انتقادات خود را با ما مطرح میکنید سپاسگزاریم

    برگشت به بالا